数列の分野ででてくる記号シグマ「Σ」についてなれていただければと思い、いくつか例を挙げていきます。

シグマのルールをもう一度

$$\sum_{k=1}^n a_k $$

この例のように

シグマ「Σ」には下と上と右側の３箇所になにがしか書いてあります。（左側にもあるときもあります。）

まずはこの下と上と右側の役割をおさらいしておきます。

下と上

下と上はペアになってまして、

下はｋ＝１とあり、「何らかの文字＝０以上の整数」

という形になっています。使う文字はｋが圧倒的に多く、ほかにi,j,l,m,nなどつかいます。

下は始めの位置、スタート位置を示す感じでｋ＝１と書いてあればｋ＝１から

ととらえておくと良いでしょう。

 

上は単独のｎなどかいてあります。文字がかいてあることが多いですが、

下がｋ＝１と＝の右に書いてある数以上の整数という役割です。

もし、下にｋ＝１０とあって上がｎと書いてあったらそのｎは１０以上の整数（自然数）となります。

具体化のルール

$$\sum_{k=1}^n a_k $$

の例で具体化します。ｋ＝１からｎまで、ｎまでというのは下がk＝と書いてありますので、ｋ＝ｎまでという意味です。

ｋ＝１からｋ＝ｎまでの右側のものを足していくということになります。

ｋ＝１のとき $$a_kはa_1 $$

k=2のとき　$$a_kはa_2 $$

k=3のとき$$ a_k はa_3$$

・・・

k=nのとき$$a_kはa_n$$

ですから

$$\sum_{k=1}^n a_k＝a_1 +a_2 +a_3 + \dots +a_n $$

となります。

ｋ＝１のときの右側、ｋ＝２の時の右側、・・・と右側をｋ＝１からｋ＝ｎまで変化させていったときのものを足していくというルールです。

ちなみに

上の例でｎに２と代入するとｋ＝１からｋ＝２までとなりますので

$$\sum_{k=1}^2 a_k=a_1 +a_2  $$

となりますし、ｎに１と代入すると

ｋ＝１からｋ＝１まで（変な表現ですが・・）となりますので

$$\sum_{k=1}^1 a_k=a_1 $$

下がｋ＝２で上が５とあれば

$$\sum_{k=2}^5 a_k =a_2 +a_3 +a_4 +a_5 $$

となります。

具体化させたあとはこのブログでは取り上げておりませんが、解き方のわかっている数列（等差数列や等比数列など）ならばその知識をもとに和を求めていくことになります。

具体化すれば必ず和が求まるというわけではないですが、その和の正体をつかむことで解決する糸口となりやすいという意味で具体化は効果的であることがあります。ですので、正しく具体化するルールをこのブログを通して身につけて頂ければ幸いです。

同じ数列の和のいろいろなΣでの表現

もう少し例を見ていただきましょう。nは自然数としまして、

$$1+2+3+ \dots +n$$

という数列の和はシグマで表すと、（具体的な和をシグマでまとめられるようにもなっていくと良いでしょう。）

$$\sum_{k=1}^n k $$

となります。

実際、ｋ＝１のときのｋは１、　ｋ＝２のときのｋは２、・・・ｋ＝ｎのときのｋはｎですからたしかに１からｎまでの自然数の和となっております。

別の文字でも

次にこのシグマはどうでしょうか。

$$\sum_{i=1}^n i $$

i＝１からi=nまで「i」をたしていくわけですが、

i=1のときのiは１、i=2のときのiは２、・・・i=nのときのiはｎですから

実はこのシグマは

$$\sum_{i=1}^n i =1+2+\dots +n$$

と同じ数列の和になります。ｋ＝・・とｋを使うことが多いのですがほかの文字でも対応できるようにしておいていただきたいという意図で書いてみました。

＝１スタートばかりじゃない

次に

$$\sum_{k=0}^{n-1}(k+1) $$

について、下がｋ＝０上がｎー１とありますので

ｋ＝０、１，２、・・・、ｎー１まで「ｋ＋１」を足していくことになります。

ｋ＝０のときｋ＋１は１

ｋ＝１のときｋ＋１は１＋１で２

ｋ＝２のときｋ＋１は２＋１で３

・・・

ｋ＝ｎー１のとき、ｋ＋１はｎー１＋１でｎ

となりますから

やはりこのシグマも

$$\sum_{k=0}^{n-1}(k+1) =1+2+\dots +n$$

と同じ数列の和を表しています。

一見するととらえにくいですが、、

 

次の例は

$$\sum_{j=1}^n (n+1-j) $$

を扱ってみます。

ルールにもとづいてｊ＝１からｊ＝ｎまで「ｎ＋１－ｊ」というのを

足していくだけです。

ｊ＝１のとき、ｎ＋１－ｊ＝ｎ＋１－１＝ｎ

ｊ＝２のとき、ｎ＋１－ｊ＝ｎ＋１－２＝ｎー１

・・・

ｊ＝ｎー１のとき　ｎ＋１－（ｎー１）＝２

ｊ＝ｎのとき　　　ｎ＋１－ｎ＝１

となりますので

$$\sum_{j=1}^n (n+1-j)=n+(n-1)+\dots+2+1 $$

と並び順は違いますが同じ１からｎまでの和となります。

今の例など特にそうなのですが、一見するととらえにくいシグマも具体化すると扱いやすい和になることがありますので、正しく具体化するルールをご記憶下さいませ。

最後に

$$\sum_{j=1}^n c $$

という例を出してみます。ここではｃはｊによって変化しない定数とします。

ｊ＝１のときｃはｃのまま

ｊ＝２のときｃはこのまま

・・・

ｊ＝ｎのときｃはやっぱりｃのまま

ですから

$$\sum_{j=1}^n c =c+c+\dots +c =nc$$

cがｎ個ならんでncとなります。

ご覧下さりありがとうございます。