積分の計算の仕方①　不定積分１ｓｔ　

高校２年で登場する積分の計算の方法を紹介します。積分も微分と同じく

計算の１種であるととらえていただいて問題ありません。積分計算ができるようになるためには、微分の計算ができるようになっていただいていることが前提ですので、おおまかではありますが、微分計算をふりかえります。高２微分のカテゴリーの記事もよろしければご覧下さい。

微分の計算の復習

何で（どの文字で）微分するかを明確に

単に「微分する」と言ってしまうことが多いのですが、何で微分するかは

ご自身で微分の計算するときには問われたら言えるように明確にしておいてください。ｘで微分する、ｔで微分する、aで微分する・・・といった具合にです。ｘをつかった式でしたら、通常xで微分することが多いです。（ある文字の式だったら、その文字で微分することが多いです。）

ｎ乗の微分

高校２年の微分では、ある文字のn乗（nは自然数）、ｘの１乗（単なるｘ）、ｘの２乗、xの３乗、・・・、ｔ、ｔの２乗、ｔの３乗、・・・これらの微分、もしくはそれらの和で表されたｎ次多項式の微分ができれば十分です。（ｎ乗とかきましたがおもに３乗までが一番多く出題されます。）

１乗の微分

$$xをxで微分すると、1。表記は(x)’=1または\frac{dx}{dx}=1$$

$$tをtで微分すると、1。表記は(t)’=1または\frac{dt}{dt}=1$$

$$aをaで微分すると、1。表記は(a)’=1または\frac{da}{da}=1$$

2乗の微分

$$x^2をxで微分すると、2x。表記は(x^2)’=2xまたは\frac{d}{dx}x^2=2x$$

$$t^2をtで微分すると、2t。表記は(t^2)’=2tまたは\frac{d}{dt}t^2=2t$$

$$a^2をaで微分すると、2a。表記は(a^2)’=2aまたは\frac{d}{da}a^2=2a$$

３乗の微分

$$x^3をxで微分すると、3x^2。表記は(x^3)’=3x^2または\frac{d}{dx}x^3=3x^2$$

$$t^3をtで微分すると、3t^2。表記は(t^3)’=3t^2または\frac{d}{dt}t^3=3t^2$$

ｎ乗の微分の共通点

ここまでご覧下さってお気づきの方もいらっしゃると思いますが、

なにかのｎ乗を微分すると、ｎが左に現れて、ｎ乗だったのがひとつ少ないn-1乗になるという共通点があります。

定数の微分

１ですとか、ー１００といった具体的な数、また、ある文字で微分しようとするときその文字によって変化しない定数はどちらも微分するとゼロになります。

$$(1)’=0, \ \  (\sqrt{3})’=0$$

$$aがxによらない定数ならば、xで微分すると(a)’=0, \ (a^2)’=0, \ (3a)’=0$$

多項式の微分

たし算（引き算）でつながれた式を微分するときは足し算でつながれた各項を微分すればよいです。

$$(x^2+1)’=(x^2)’+(1)’=2x$$

(ｘで微分しました。xの２乗と１をそれぞれ微分すれば良いです。）

$$(3t^2 -2t -2)’=(3t^2)’-(2t)’-(2)’=6t-2$$

(tで微分しました。それぞれ微分しました。）

積分計算の紹介　不定積分

積分には２種類ある

微分の復習が長くなりました。それでは積分に入ります。ただ、積分には２種類あることを紹介させてください

不定積分と定積分　区間を定めるか定めないか

積分には不定積分と定積分がありまして、式の見た目から区別は簡単にできます。

$$\int x dx  , \ \int_{1}^{2} x dx $$

細長いｓのような記号$$\int $$はインテグラルと呼びます。インテグラルはどちらもありますが右側には小さい１と２があります。この小さい数２つが書いてある積分が定積分です。なにもなければ不定積分です。

不定積分の計算　微分する前を答える

これから不定積分の計算法を紹介します。

ただ、注意点として、微分する時と同じで何で（どの文字で）積分するかは言えるようにしておいてください。

ただ、積分の場合はインテグラルとdxやdtなど「ディーなにかの文字」ではさむので見て分かるようになっています。（dxだったらｘで積分する）

一般論　共通する考え方

何かをなにかの文字で不定積分するとは微分してその何かになるものを答えることです。例を挙げます。

【例１】 1をxで（不定）積分すると、（ｘで微分すると１になるものはxだったから答えはｘ。表し方は、

$$ \int 1 dx =x+C \ (Cは積分定数）$$

インテグラルとｄｘ（今回はｘで積分しようとしている）ではさまれたものが積分しようとしているものです。微分してその中身（今回は１）になるものを答えれば良いので、それはｘだと思い出し、ｘと答えます。

微分の知識が必要です。また、大文字Cについてですが、

定数を微分するとゼロになることを思い出していただきたいのですが、微分して１になるのは、ｘもそうですが

ｘ＋１、ｘ－２、・・・などx＋（定数）の形だったらなんでも微分すれば１になるわけです。したがって、まとめて表記すべく定数Cを使って上のように書くのが正確な答えとなります。Cは積分定数のコメントも付けておいてくださいね。

いくつか、不定積分の例をあげてみます。

【例２】２ｔをｔで不定積分すると

（tで微分して２ｔとなるのはｔの２乗でしたから）

$$\int 2t dt =t^2 +C (Cは積分定数）$$

【例３】

$$ \int (3x^2 +2)dx=x^3 +2x +C (Cは積分定数）$$

(答えを先に書きましたが、足し算でつながれてますので微分のときと同じように３ｘの２乗と２の積分はそれぞれ別々に分けて考えます。微分して３ｘの２乗になるのはｘの３乗だったと思い出し、また、微分して２になるのは２ｘだということで答えが出ます。）

※出した答えを微分して中身になれば合っているという

たしかめ算もできます。

【追記】読者様にご指摘いただきまして一部修正させていただきました。２０１９年2月１５日　作成者拝