三角不等式の解き方①

サイン、コサイン、タンジェントが入った不等式の解き方を説明します。

【注】不等式の中の不等号「≦」のイコール部分が一本線になっているところはイコールと読みかえてください。

問題１

$$ 0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}において　\sin \theta \leq \frac{1}{\sqrt{2}} を解いてください。$$

（考え方）

サインの値が√２分の１以下になっているときの角度θを０度から１８０度の範囲の中で答えるという問題です。単位円（ｘｙ平面上の原点中心、半径１の円）で考えます。

点Pがスタート位置の点（１，０）から円周上をθ回転したあとのｙ座標がそのままサインの値になるのでした。したがって、解きたい不等式は

$$ 回転後の点Pのｙ座標　\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$$

とよみかえることができます。（答案にはかかなくてよいです。）

ですので、単位円上でｙ座標がルート２分の１以下になっているところを

探します。

太く書いたところが、円周上でｙ座標がルート２分の１以下になっているところですので、ここを指定された範囲（この問題では０度から１８０度）であてはまる角度の範囲を答えていけばいいです。０度から１８０度まで該当するところを探していく、つまり、イメージとしては、０度から１０度、２０度、・・・とじょじょに回転させていって探していけばもれなく求まります。

実際に探していきますと、まず０度（回転しない）のところは該当しており（あてはまっており）しばらく回転していくと、ちょうどｙ座標がルート２分の１になっているところまで、あてはまっています。

ここは

$$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}} (図から0^{\circ}\leq \theta \leq 90^{\circ}だと推測できます） $$

となるθで、それは二等辺のほうの三角定規の形を使ってθが４５度の時だとわかります。よって、まずは０度から４５度までがひとつの答えとなります。

次に４５度からさらに回転していくと、４５度より少しだけ角度を大きくするとy座標はルート２分の１より大きくなりますので、しばらくは該当しません。５０度、６０度、・・・とまわしていって、９０度を通り過ぎ

（ここから点Pのｙ座標は小さくなっていきますね）また、ｙ座標がちょうどルート２分の１になるところになります。

ここは点Pが何度回転したところかを求めると、さきほど４５度を求めたときのことが参考になりまして、１３５度であることがわかります。

１３５度を越えると回転させていけば確認してもらえますが１８０度まで

ｙ座標はどんどん小さくなっていきますので、求める範囲にあてはまります。２ヶ所めの答えは１３５度から１８０度までとわかりました。

以上より、求める答えは

$$(答) 0^{\circ} \leq \theta \leq 45^{\circ} , \ 135^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ} $$

となります。

まとめ

・不等式を点Pの座標（サインでしたらｙ、コサインでしたらｘ）で読みかえて、単位円周上のあてはまるところを特定する。

・指定された範囲で該当するところを答えていく。