数列でよくでてくる数列の等差数列について
基本的なことを具体例を多く挙げて
紹介していきます。
先にまとめ
等差数列につきましては
・まずその数列が等差数列だと判断できること
・一般項（第ｎ項）をｎの式で表せること
・初項（一番最初に並んでいる数）から第ｎ項までの和をｎで表すこと
これらが大事になってきます。
今回は一般項について主に取り上げます。
等差数列とは
次の数列
$$例１ \ \ 1,3,5,7,9,\dots$$
は等差数列とします。
最初の数である初項１に２という数を
足して、次の数は３、
３に２を足して次の数が５、
５に２を足して次の数は７、
７に２を足して次の数は９、
と前の数に２という数を足して
次の数になっている数列です。
このようにすべての隣どうしの数が
前の数に何らかの同じ数を
足して次の数になっている
という規則で並んでいる数列を
等差数列といいます。
上の例は２を足し続けていってますが
等差数列で前の数に足す共通の数を
公差と呼んでます。
上の例ですと、初項１、公差２の等差数列
となります。
もう一つ例を挙げてみます。
例２
$$ 7,4.1,-2,-5,\dots$$
この数列は等差数列だとします。
一番目、初項は７で３を引いて
（いいかえればー３を加えて）
２番目が４です。４に３を引いて
３番目が１、・・・と
前の数に３を引いて（ー３を足して）
次の数になるという規則で並んでいます。
この等差数列の初項は７、公差はー３
（３ではなく）となります。
負の数（マイナスの数）が公差になることもあります。
注１
例１，２で等差数列とします。と断りましたのは
５つ数が並んでいてその次が等差数列の規則で並んでいるとは
言い切れないからです。
例１で１，３，５，７，９、・・・
とあって６番目（９の次）が１１がくるとは
断定できないのです。
ですので、例１の数列がでてきたら
等差数列と推測されるとしか
いえないので、この記事では
等差数列であると断り書きをいれさせていただきました。
注２
公差について「前の数に同じ数を足して・・・」
と表現しましたが
後ろの数ー前の数が共通という言い換えもできます。
例１
１，３，５，７，９、・・・の等差数列では
２番目ー１番目 ３－１＝２
３番目ー２番目 ５－３＝２
４番目ー３番目 ７－５＝２
・・・
というように後ろの数ー前の数
が２（この例では２）で共通になっているから
等差数列であるという説明もできます。
公差という「差」という漢字からも
こちらの考え方のほうがしっくりくるかもしれません。
（別の記事で階差数列を扱う時も重要な見方です。）
等差数列の一般項
次に等差数列の一般項（ｎ番目、第ｎ項のことと
考えてもらってまず問題ないです。）を
ｎで表すことを考えてみます。
初項からどうなっているか
一般項に入る前に
具体的な場所の数、
４番目や５番目がどうなっているかを
見ていただきたいです。
このとき初項からどうなっているかに
注目していただけると
規則性に気づいてもらえるかと思われます。
さきほどの例１
$$1,3,5,7,9,\dots$$
において
４番目の数は７ですが
初項の１から
公差２が３回足されていませんでしょうか。
１に２を１回足して３（←２番目の数）
１に２を２回足すと５（←３番目の数）
１に２を３回足すと７（←４番目の数）
この規則を式で表すと
$$1+2\times3=7$$
となります。
４番目だからといって
公差２を４回足すのではなく
４番目は初項から３つとなりなので
公差２は３回足すだけです。
５番目９についても
$$1+2\times4=9$$
と表すことができます。
この考え方は４番目、５番目に
限った考え方ではなく、
ほかでも使えまして、
ｎ番目ならば
$$1+2\times(n-1)$$
と表せます。
（ｎ番目は初項からｎ個となりではなく
１個すくないｎー１個となりなので
公差はｎ倍でなくｎー１倍です。）
初項a,公差ｄだったら
例１では
初項が１、公差２でしたが、
もし初項がaという数で公差がｄの
等差数列でしたら、
その数列のｎ番目である
一般項は
$$a+(n-1)\times d$$
となります。
例２は
初項a=7
公差d=-3
でしたが
その５番目（ｎ＝５）
を上の式にあてはめていただきますと
$$7+(5-1)\times(-3)=7+4\times(-3)=-5$$
とたしかに５番目の数のー５になります。
公式を紹介しましたが
公式を紹介しましたが
とくに等差数列をはじめて学ぶ方は
公式を覚える前に
考え方（上の例１で４番目、５番目を表してから
ｎ番目を表したあたり）をまず身につけて
いただくのがよろしいかと思われます。
それができれば公式はすぐに導き出しやすいです。
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