定積分で面積を求める問題とその解き方を扱います。

今回の問題では、定積分の式を立てる際に必要となります、「どちらが上側か」を調べる方法に力点をおいて解説させていただきます。

まずは、問題文からどうぞ。

問題

$$曲線y=x^3+x^2と直線y=2xとで囲まれる図形の面積の総和を求めよ。$$

実はこの問題は、囲まれているところが２ヶ所ありまして、面積の総和（合計）という問題文にしました。２ヶ所それぞれの面積を求め、それらを足し合わせるという方針をとります。

まずは交点のｘ座標を求める。

曲線と直線とで囲まれているところがあるとのことですから、どこかで

両者は交わっているはずです。

どこで交わっているかをつきとめるべく、交点のｘ座標を求めてみます。

【答案例】

$$y=x^3 +x^2 とy=2xとの交点のｘ座標を求める。$$

$$２式を連立してyを消去すると、$$

$$x^3 +x^2=2x$$

しばらくは、方程式（３次方程式ですね）を解く作業に入ります。

【答案続き】

$$x^3 +x^2-2x=0$$

$$x(x^2 +x-2)=0$$

$$x(x+2)(x-1)=0$$

$$x=-2,0,1$$

2次，３次などｎ次方程式を解く際は、因数分解をためしてみるのでした。

今回は共通因数ｘでくくり、さらに()内の２次式もわりと簡単に因数分解できました。（そうつくりました）これにより、交点のｘ座標が３つ求まりました。

交点を求めた結果から、ｘがー２から０の間と、０と１の間に囲まれている部分があることが分かります。（ｘ＝ー２より左側と、ｘ＝１より右側は曲線と直線は交わらず、図形を囲むことはないです。）

これにより、面積を求めるための定積分の積分区間（∫の右の２つの小さい数）は

$$\int_{-2}^0 と\int_0^1 $$

とわかりました。

区間内でどちらが上側にあるか調べる

次に、定積分の中身、インテグラルの右側が正確に書ければ、あとは積分計算だけとなります。

面積の定積分の式の中身は「上側の曲線（直線）ー下側の曲線（直線）」

となることは前の記事で扱いました。したがって、この問題では

$$積分の中身をx^3+x^2-2xにするか2x-(x^3+x^2)にするか$$

正確に判断する必要があります。

３ヶ所の交点が分かっただけの段階では、曲線と直線の上下の位置関係は分かりません。3次関数のグラフの知識を使えば上の絵の②であることが

わかりますが、ここではもう少し調査してみます。

３次関数など、グラフの概形（およその形）を調べるときは微分して増減表をかくのが基本でした。

ー２＜ｘ＜０では３次関数が上側とわかりましたが、０＜ｘ＜１では細かい話ではありますが、直線が上と断定できていません。（「凹凸」を調べれば解決することはできますが数学Ⅲの範囲ですのでここでは取り上げません。)今は３次関数のグラフがどういった形かということよりも、むしろ直線との位置関係が知りたい、位置関係だけが知りたいのです。

 

極値を求めるときや、その関数のグラフ自体のおよその形を知りたい時は、微分して増減表を書いていけば良いのですが、今回の問題のように、２つの曲線（直線含む）の位置が上か下かを調べるときは、次のように

不等式を立てて解いてみる（不等式に聞いてみるという感覚ですかね。）

ことが有効です。

上側にあるとは、y座標がより大きいということですから、

$$区別するためy_1 =x^3+x^2 とy_2 =2x とyに番号をつけますと$$

$$y_1 >y_2なのかy_1<y_2なのかを知りたいときは$$

ためしに不等式をたてて解いてみると良いです。

【答案続き】

次に、

$$x^3+x^2>2xを解いてみると、$$

$$x^3+x^2-2x>0$$

$$x(x^2+x-2)>0$$

$$x(x+2)(x-1)>0$$

$$y=x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1)は$$

$$x^3の係数が正、x軸とx=-2,0,1で交わることから$$

$$不等式の解は、$$

$$-2<x<0,1<xとなる。$$

$$これより、y=x^3+x^2とy=2xとでは$$

$$-2<x<0ではy=x^3+x^2が上側、$$

$$0<x<1ではy=2xが上側にあると分かる。$$

途中の、x(x+2)(x-1)>0を解く時には、3次関数のグラフの知識を使って解決しました。

交点を求める時の方程式を解く作業と途中までほとんど同じです。

実際に、積分して面積を求めていきます。

【長かったですが最後の答案です】

以上より、求める面積は

$$\int_{-2}^0 (x^3+x^2 -2x)dx$$

$$=[\frac{1}{4}x^4 +\frac{1}{3}x^3-x^2]_{-2}^0 $$

$$=-(4-\frac{8}{3}-4)$$

$$=\frac{8}{3}$$

と

$$\int_0^1 \{ 2x-(x^3+x^2)\}dx$$

$$=\int_0^1 (-x^3 -x^2 +2x)dx$$

$$=[-\frac{1}{4}x^4 -\frac{1}{3}x^3 +x^2 ]_0^1 $$

$$=(-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+1)$$

$$=\frac{5}{12}$$

との総和であるから

$$\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}\dots(答)$$

まとめ

$$y_1=f(x)とy_2=g(x)の上下の位置関係が知りたい時は$$

$$f(x)>g(x)   (f(x)が上)を解いてみる$$

増減表は必ずしも必要ないです。不等式の解が、すべての実数や解なしとなることもあります。解くのが大変なときもあります。