円（ｘｙ平面に中心を原点において、半径が１の円、「単位円」とよびます。）を用いてサイン、コサイン、タンジェントを決める考え方を前の記事で紹介しました。このページでは、その考え方をもとにそれぞれの方程式を満たす角度を答える基本問題の解き方を紹介します。もしよろしければ、問題とその解き方を読んでいただいて（必ずしもとく必要はないです。）そのあと、お手持ちの教科書や問題集にある似た問題を解いてみてください。
【注】イコール付き不等号≦のイコールの横棒が１本きえているところは恐れ入りますが書き足してください。
問題１
$$ 0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}において$$
$$ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} を解いてください$$
※記述式答案の書き方は、教科書などの答案例を参考にしてください。このページでは正解を導き出すまでの考え方、解いている時に考えていることなどがお伝えできればいいなと思いつつ書いてみます。
【問題１の考え方】
直角三角形を使ったサインの考え方を用いて６０°と答えることは不十分、正しく答えていないことになります。直角三角形では０度より大きく９０度より小さいサインしか表せないからです。
したがいまして、円を使ったサインの考え方を使います。
$$ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
という問題にある方程式は、頭の中で
$$\theta 回転したあとの点Pのｙ座標が=\frac{\sqrt{3}}{2}なのだ$$
と読み替えることができます。それで、単位円上にｙ座標が
$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$となる点を取ってしまいます。
左右に２箇所、点Pがいる場所があることが分かります。この２箇所には、点Pがスタート位置の（１，０）から何度回転したかを答えれば良いのです。
この角度が図からすぐに判断できないとき、点Pがいるところからｘ軸に垂線を下ろすと手がかりになります。
2つ現れた直角三角形は、斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいですので
合同な直角三角形ですね。
下ろした垂線の長さは$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$,半径１ですから斜辺も１この長さの辺をもつ直角三角形は３０°、６０度の三角定規の形の直角三角形です。したがって、ここが６０°と決まります。
これより点Pはスタート位置から６０°と１２０°の二箇所回転すればよいことが分かり、求めるθは
$$ \theta =60^{\circ},120^{\circ}\dots \dots (答)$$となります。
問題２
$$ 0^{\circ} \leq \alpha \leq 360^{\circ}において、$$
$$ \cos \alpha =0となる\alphaを答えてください。$$
(高校１年の三角比では１８０度までの角度しか聞かれませんが、考え方は同じですので出題してみました。)
問題２では、コサインが聞かれていますので、与えられた（問題に書かれてある）方程式は、
$$ \alpha 回転したあとの点Pのｘ座標が=0です.$$
と読み替えます。
すると、単位円上のｘ座標が０となる点をとってしまうと、ｙ軸上の２点が取れます。
しがたって、回転してここに点Pがこれば良いのですから、ここは９０°と２７０°とそれぞれ回転すればよいと判断できます。求める答えは、
$$ \alpha =90^{\circ},270^{\circ}となります。$$
問題３
$$ \tan \beta =\frac{1}{\sqrt{3}}となる\betaを0^{\circ} \leq \beta \leq 360^{\circ}の範囲の中で答えてください。$$
タンジェントの方程式です。タンジェントは、直線x=1上の点Tのy座標がタンジェントでしたから、方程式は頭の中では、
$$ 点Pが\beta 回転したあとの、直線OPと直線x=1との交点Tのy座標＝\frac{1}{\sqrt{3}}だ。$$
と読み替えます。
この考え方をもとに、直線x=1上にｙ座標が$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$となる点Tをとってしまいます。
点Tと原点Ｏを結び、必要あれば延長させて直線OTと単位円との交点を見つけます。右上と、右下あたりに交点が取れました。この２点のところまで点Pは回転していれば良いので、何度回転したかを答えれば良いです。
手がかりは、線分OTとｘ軸と直線x=1で囲まれた図の直角三角形で、またまた三角定規の直角三角形（３０度と６０度のほうの直角三角形）が現れてます。
ここから、次々と角度が決まり、求めるβは
$$ \beta =30^{\circ},210^{\circ}\dots \dots (答)$$
（右側の角度が３０度とわかったので、直線OTが一直線ですから、３０度に１８０度足して２１０度
と決まります。）
(補足 三角定規の辺の比を使って座標を求めるとき、３０度と６０度の長細い方の三角定規ばかり登場しましたが、もうひとつの直角二等辺三角形の辺の比を使うことももちろんあります。（４５の倍数を答えるとき。）問題が偏ってしまいました。）
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