前回の記事（定積分で面積を求める②）で定積分を使って、ｘｙ平面上の図形の面積の求め方を紹介しました。基本的な考え方は、その記事でお伝えしました。今回はその基本的な考え方を使って、ｘ軸と曲線で囲まれた図形の面積を求めてみます。
ｘ軸を直線の式で表すと
ｘ軸を直線の式で表すと、ｘ軸上の点はどの点もｙ座標がゼロですから、
$$y=0$$
となります。前回、直線で囲まれた（はさまれた）面積を求めましたので、もしｘ軸で囲まれた（はさまれた）面積を求めたいときは、直線の式がy=0なのだととらえていただければ同じように扱えます。
問題例１
３つの曲線ないし直線、
$$y=x^2 +1 , \ x軸, \ x=1$$で囲まれた面積を求めてください。
解き方
２次関数とｘ軸、さらに直線ｘ＝１で囲まれた部分の面積を求めよという問題です。この問題の３つの曲線と直線は、すでにグラフがかけるものたちばかりなので、グラフをかいてみます。
上側は2次関数、下側がｘ軸と分かり、積分の中身は上引く下でしたから
$$x^2 +1 – 0=x^2+1 $$
積分区間は
左端がx=0,右端はx=1ですので０から１までとなります。
したがって、求める面積は
$$\int_0^1 (x^2+1)dx=[\frac{1}{3}x^3 +x]_0^1 =(\frac{1}{3}+1)-(0+0)=\frac{4}{3}\dot(答）$$
となります。
グラフの上下の位置関係と左右の両端のチェックが大事ということに気づいてもらえると良いですね。もうちょっと、問題例を出してみます。
問題例２
$$x軸と、直線x=-1,x=1および曲線y=x^2-4で囲まれた図形の面積を求めてください。$$
解き方
この問題の2次関数の頂点の座標は（０，ー4）で、下に凸な放物線を描きますから、グラフは次のようになります。
面積を求めようとしているところはｘ軸（y=0)が上側になり、2次関数が下側になりますから、積分の中身は
$$0-(x^2-4)=-x^2 +4$$
となります。積分区間は左端はx=ー1,右端はｘ＝１ですから、ー１から１までですね。以上より、求める面積は
$$\int_{-1}^1 (-x^2 +4)dx=[-\frac{1}{3}x^3+4x]_{-1}^1 =(-\frac{1}{3}+4)-(\frac{1}{3}-4)=\frac{11}{3}+\frac{11}{3}=\frac{22}{3}$$
となります。
※少し工夫ができます。
この問題は少し工夫ができまして、図を見ていただきますと、面積を求めようとしている図形はｙ軸に関して対称です。ですから、ｙ軸より右側（左側でも良いですが。）の面積を求めて、2倍すると、全体の求めたい面積が求まります。計算が楽になります。式としましては
$$ 2\times \int_0^1 (-x^2+4)dx=2\times [-\frac{1}{3}x^3 +4x]_0^1=2\times(-\frac{1}{3}+4)=2\times \frac{11}{3}=\frac{22}{3}$$
となります。（「偶関数」という項目で詳しくは扱いますが、今回は簡単にふれておきました。まずは多少手間がかかっても広く使える解き方を身につけていくのがよいかと存じます。）
問題例３
$$曲線y=-3x^2-6xとx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください。$$
解き方
今回の問題はといいますか、今回の問題も面積をもとめたいわけですから、
グラフは面積を求めるために必要な情報
が分かれば十分なのです。積分を使って求めようとしているので
・グラフの上下の位置関係（→積分の中身）
・両端（→積分区間）
この２点さえ分かれば積分の式がたてられることになります。
ということは、これ以外の情報は必ずしも必要ないわけです。
この問題では、2次関数とｘ軸との位置関係を調べるために
まずは交点を求めます。（あるかないか現時点ではわかりません。囲んでいるらしいからあるのだろうなと思いつつ求めてみます。）
$$ -3x^2+6x=0$$
$$x=-2, \ 0$$
解いてみたら、2箇所で交わるのだと分かりました。このことと、今回の２次関数はｘ２乗の係数は負の数ですので上に凸な放物線を描きます。これらの情報から、グラフは次のようになります。
これより、上側は２次関数、下側はｘ軸（ｙ＝０）と分かりますし、区間は左右どちらも囲んでいてそれぞれのｘ座標からー２から０まで積分すればよいと分かります。
したがいまして求める面積は
$$\int_{-2}^2 (-3x^2-6x)dx=[-x^3-3x^2]_{-2}^0=0-(8-12)=4$$
となります。
問題例１と２では、すぐに頂点の座標がわかりましたので、上に凸か下に凸かどうかと合わせてグラフをかきました。問題例３では２次関数が平方完成されてなくて、こちらですればよいのですが、区間を知るためにｘ軸との交点を先に求め、上に凸であることを考慮すればグラフのおよその形がかけました。つまり例３では頂点の座標を調べなくても面積を求めるのに必要な情報はそろってしまいました。
問題に応じて、必要な情報をなるべく簡単に求めていくのが良いでしょう。ただ、慣れないうちは頂点や交点をもとめていってグラフを書いていけば良いです。そのとき、ふりかえってこれは必要だった、これは不必要だったと見直していくと次につながります。
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